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level: modelli continui

Questions and Answers List

level questions: modelli continui

QuestionAnswer
a che cosa equivale il valore atteso di una v.a. graficamente?all'area complementare a quella sottesa dalla funzione di ripartizione
che cosa descrive un modello uniforme continuo? supporto e funzione di densità?descrive la probabilità che una variabile casuale assuma un valore in un intervallo specifico di valori reali. In questo modello, tutti i valori all'interno dell'intervallo sono equiprobabili, mentre quelli al di fuori dell'intervallo hanno probabilità zero
che cosa mira a rappresentare il modello esponenziale? supporto e funzione di densità di massa? cosa significano i parametri?descrive la probabilità del tempo di attesa di un evento casuale - lambda è il tasso di occorrenza degli eventi
che cosa mira a rappresentare il modello Gaussiano? supporto e funzione di densità di massa?viene usata per usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio.
che cosa dice la legge Empirica?Se un campione numerico è approssimativamente normale, ha media campionaria μ e deviazione standard s, allora: (1) Circa il 68% dei suoi dati cade nell’intervallo μ ± s (2) Circa il 95% dei suoi dati cade nell’intervallo μ ± 2s (3) Circa il 99.7% dei suoi dati cade nell’intervallo μ ± 3s
che cosa afferma il teorema centrale del limite?Il teorema centrale del limite (TCL) afferma che la distribuzione della media di un campione casuale di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite tende a una distribuzione normale, indipendentemente dalla distribuzione di probabilità della singola variabile casuale. in formule:
che relazione intercorre fra la funzione di ripartizione e la funzione cumulativa empirica?la seconda è una approssimazione della prima e può essere utilizzata per un approssimazione di una variabile aleatoria che è il risultato della somma di più variabili aleatorie
come dimostrare che il modello esponenziale gode dell'assenza di memoria?partendo dalla funzione di ripartizione
dimostrare che l'area sottesa dalla funzione di ripartizione nel caso di modello uniforme continuo è uguale a 1dimostrazione 6.1.2:
Sappiamo che X ∼ U([0,30]) e X è il minuto, dalle 07:00 in poi, nel quale arrivo alla fermata dell’autobus: qual'è la probabilità che io attenda meno di 5 minuti per l’autobus, sapendo che l’autobus passa una volta ogni 15 minutisoluzione 6.1.3:
dimostra che il modello Esponenziale gode dell'assenza di memoriadimostrazione 6.2.2:
data una variabile aleatoria X distribuita con modello esponenziale, a cosa equivale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria Y dato che Y = c *X?considerazione 6.2.4:
La mia X ∼ E(1) rappresenta le ore necessarie per riparare un macchinario, qual' è la probabilità che io ci impieghi più di 2 ore per ripararlo?esercizio 6.2.5:
La mia X ∼ E(1) rappresenta le ore necessarie per riparare un macchinario, Qual' è la probabilità che io ci impieghi almeno 3 ore dato che prima ce ne ho messe 2 di ore?esercizio 6.2.5: per l'assenza di memoria di cui è dotata l'Esponenziale
La mia X ∼ E (1/20) rappresenta le migliaia di km che l’auto percorre prima di rompersi. Ho usato l’auto per 10k km, la vendo e il compratore si domanda la probabilità che duri altri 20 k km?esercizio 6.2.6: sempre per la proprietà di assenza di memoria della v.a. esponenziale
La mia X ∼ U(0, 40) rappresenta le migliaia di km che l’auto percorre prima di rompersi. Ho usato l’auto per 10k km, la vendo e il compratore si domanda la probabilità che duri altri 20km?esercizio 6.2.6:
come si dimostra che la densità di una normale in μ è tanto più grande tanto σ è piccola6.3.3: applicando la definizione di funzione di densità: quindi, in μ, la densità sarà tanto piu grande tanto quanto la varianza al denominatore sarà piccola
a cosa equivale la somma di due variabili aleatorie gaussiane?6.3.4. corrisponde ad una terza variabile aleatoria con parametri:
che cosa prevede il concetto di riproducibilità?6.3.7: sommando variabili aleatorie che hanno un modello comune, ottengo una variabile aleatoria che fa ancora parte di quel modello comune, questo concetto è noto come riproducibilitàper esempio con la variabile aleatoria gaussiana: questa proprietà vale oltre che per le gaussiane per le poissoniane e le binomiali
verificare che:6.3.13:
Ipotizzo di avere 25000 polizze auto e X è il risarcimento annuo di un cliente. Mi aspetto di risarcire intorno ai 320 euro ogni cliente, quindi E(X) = 320 euro, con una deviazione di σx = 540 euro: qual'è la probabilità di dover risarcire più di 8.3 · 10^6 euro? quale è la soglia entro quale l'approssimazione trovata continua a valere?6.3.14: bisogna utilizzare il TCL per approssimare con una Normale. successivamente bisogna normalizzare - per trovare l'approssimazione bisogna utilizzare la funzione cumulativa empirica
La media delle precipitazioni del 2022 è 12.08cm mentre la deviazione standard è 9.1cm. Le precipitazioni del 2022 sommate a quelle del 2023(di uguali parametri), supereranno i 25cm?6.3.16: siccome si tratta di sommatorie di v.a. con la stessa distribuzione si può usare il Teorema Centrale del Limite per poter approssimare con una normale e da là... μ = 2 * 12.08 sigma = sqrt(2) sigma RICORDARSI DI NORMALIZZARE
in una distribuzione uniforme continua, quale è la probabilità che X appartenga ad un intervallo I?6.1.1
se X ~ G(μ,σ) e Y = (X - μ) / σ a quanto equivalgono i parametri di Y?6.3.5
la funzione di densità deve essere compresa tra 0 e 1?no, deve essere positiva ma può anche essere maggiore di 1, basta che integri a 1
a che cosa equivale il valore atteso di una v.a. graficamente?all'area complementare a quella sottesa dalla funzione di ripartizione
perchè la normale standard non ha senso calcolare la funzione di densità per x con valori negativi?poichè la funzione di densità è simmetrica rispetto a mu , e siccome mu è posizionata su X = 0 è simmetrica rispetto all'asse...
che cosa rappresentano graficamente i parametri della Normale? come mai nella Normale viene usato come parametro la deviazione standard e non la varianza?mu : indica la posizione dell'asse di simmetria sigma : indica l'ampiezza della curva (e altezza) non viene usata la varianza poichè avrebbe una unità di misura diversa da quella di mu dato che sarebbe ^2
data una variabile aleatoria e fissato il parametro alfa, trovare il valore di n tale per cui:con applicazione del TCL e della funzione di rip. della gaussiana standard:
dimostrare che per uno stimatore:il fatto che la stima ricada in un intervallo è possibile approssimarlo tramite l'utilizzo della funzione di ripartizione di una normale standard
come può essere approssimato un modello esponenziale?come un modello geometrico considerando intervalli piccoli di tempo
dimostrare che se si considerano le variabili aleatorie esponenziali X1,X2,...,Xn allora la variabile aleatoria min(Xi) è esprimibile come distribuzione esponenziale che ha come parametri la somma dei parametri- se la minore X è maggiore di x allora tutte le altre X sono maggiori di x- siccome sono indipendenti posso fare la produttoria
come influisce il parametro lambda sui grafici di una variabile aleatoria esponenziale?più il tasso di occorrenza sarà alto più il grafico di densità sarà in pendenza
come mai è così importante la variabile normale standard?poichè la funzione di ripartizione di ripartizione di una variabile Normale abbiamo visto che ha una forma analitica molto complessa
quanto vale la funzione di densità di una normale standard nel punto 0?vale 1/2 perchè intuitivamente corrisponderà al punto medio della funzione di ripartizione di una standard che, siccome ha valori compresi tra 0 e 1 . il punto medio sarà .5
che cosa significa calcolare la mediana di una variabile aleatoria? dove si colloca questa nel grafico della Normale?è quel valore reale m tale che P(X <= m) = P(X >= m) = 1/2. nel grafico di una Normale questa coinciderà sempre con la media poichè l'are a destra sarà uguale all'area di sinistra
come si calcola la moda di una variabile aleatoria?la moda sarà quel valore sull'asse X tale per cui la funzione di massa/densità avrà valore massimo
a che cosa corrisponde il quantile di livello q[a,b] di una variabile aleatoria?è la specificazione di x tale per cui P(X <= x) = q in altre parole è il punto x per cui l'area sottesa dalla funzione di massa/densità fino al punto x sia uguale a q. esempio per il quantile 0.1