| OSNOVNA CELICA | – najmanjša ponavljajoča se enota kristalne mreže (strukture) – če
definiramo to enoto (sestavo in kemijske vezi) in vemo, kateri simetrijski elementi so prisotni,
smo s tem določili celoten kristal. |
| OSNOVNA CELICA | – najmanjša ponavljajoča se enota kristalne mreže (strukture) – če
definiramo to enoto (sestavo in kemijske vezi) in vemo, kateri simetrijski elementi so prisotni,
smo s tem določili celoten kristal. |
| OSNOVNA CELICA | – najmanjša ponavljajoča se enota kristalne mreže (strukture) – če
definiramo to enoto (sestavo in kemijske vezi) in vemo, kateri simetrijski elementi so prisotni,
smo s tem določili celoten kristal. |
| OSNOVNA CELICA | – najmanjša ponavljajoča se enota kristalne mreže (strukture) – če
definiramo to enoto (sestavo in kemijske vezi) in vemo, kateri simetrijski elementi so prisotni,
smo s tem določili celoten kristal. |
| INVERZIJA | Inverzija (I) ali zrcaljenje skozi točko – center inverzije oz. center (središče) simetrije – i
Samo ta točka ostane na svojem mestu.
Originalnega vzorca in inverzne slike ne moremo prekriti s translacijo.
Slika je zrcalna slika izvornega objekta.
Taka objekta imenujemo ENANTIOMORFA. |
| OSNOVNA CELICA | – najmanjša ponavljajoča se enota kristalne mreže (strukture) – če
definiramo to enoto (sestavo in kemijske vezi) in vemo, kateri simetrijski elementi so prisotni,
smo s tem določili celoten kristal. |
| OSNOVNA CELICA | – najmanjša ponavljajoča se enota kristalne mreže (strukture) – če
definiramo to enoto (sestavo in kemijske vezi) in vemo, kateri simetrijski elementi so prisotni,
smo s tem določili celoten kristal. |
| Tipi kristlografije | geometrična – zunanja oblika kristalov in simetrija
- strukturna – notranja simetrija in struktura
- kristalna kemija – medatomske vezi in razporeditve delcev
- fizikalna kristalografija – fizikalne lastnosti kot posledica strukture |
| Začetki kristalografije | Začetki – opisna kristalografija, kot del mineralogije
od sredine 19. stoletja – samostojna veda
predpostavka – pravilne oblike kristalov so posledica notranje urejenosti:
Johannes Kepler (1619), Robert Hooke (1665), Christian Huygens – dvolom kalcita(1690)
1669: Nils Stensen predpostavi prvi kvantitativni zakon kristalografije – zakon o stalnosti
kotov (na osnovi merjenja kotov med ploskvami kristalov kremena)
1774: Abbé Réné-Just Haüy postavi drugi zakon kristalografije – zakon o racionalnih indeksih
(zaradi popolne razkolnosti imajo drobci enake oblike kot prvotni kristal kalcita →
kristal je sestavljen iz številnih identičnih paralelepipedov)
1839: W.H. Miller vpelje metodo analitične geometrije in predlaga sistem oznak, ki je v
uporabi še danes
1817 je nemški mineralog C.S. Weiss vpeljal podoben sistem oznak (Weissovi
parametri)
1849: Auguste Bravais postavi postulat, ki predstavlja osnovo kristalografiji, t.i. BRAVAISOV
POSTULAT. |
| Začetki kristalografije 2 | Začetek 20. stoletja – prvi poizkusi z RTG žarki na kristalih
W. in L. Bragg – potrdita Bravaisov postulat
Ukloni RTG žarkov na kristalih dajo eksperimentalni dokaz pravilne urejenosti strukture
(notranjosti) kristalov.
po 1960: uporaba računalniških metod
Danes v vsakem dobro opremljenem laboratoriju že v nekaj dneh v celoti določijo strukturo
nove kristalne snovi. Danes lahko zelo nazorno pokažemo izredno kompleksne strukture
materialov na atomarnem nivoju |
| BRAVAISOV POSTULAT | Za poljubno točko P v kristalu obstaja neskončno število točk v prostoru v vseh smereh,
okoli katerih je razporeditev snovi popolnoma enaka kot za točko P.
Iz tega postulata izhaja ideja o tridimenzionalni kristalni mreži in simetriji povezani z njo.
Bravais uvede tudi pojem recipročne mreže.
1782: Carangeot – prvi goniometer
1810: Babinet in Wollaston izdelata prvi enokrožni goniometer
Wulff – wulffova mreža in dvokrožni goniometer, ki ga izpopolni Fedorov |
| GEOMETRIČNA KRISTALOGRAFIJA | 1. ZAKON O STALNOSTI KOTOV
Šop premic, ki se sekajo v katerikoli točki v kristalu in so pravokotne na kristalne
ploskve, predstavlja stalno značilnost kristalne vrste.
Kot med dvema ploskvama posameznega kristala je stalen in se ne menja, če sta
ploskvi premaknjeni zaradi rasti kristala → kristalna ploskev je definirana z orientacijo
in ne s svojo pozicijo.
V vseh kristalih iste snovi so koti med odgovarjajočimi ploskvami vedno stalni in med
seboj enaki. Iz tega sledi, da so stalni tudi koti med robovi.
Pozicija/položaj ploskve je namreč posledica različnih pogojev v času rasti kristala.
Ploskve, ki jih danes opazujemo, imajo nižje hitrosti rasti, ploskve, ki rastejo hitreje, so v
procesu rasti kristala, eliminirane.
Večja hitrost → manjša ploskev |
| 2. ZAKON O RACIONALNIH INDEKSIH (Haüy; Weiss) | Izbira kristalografskih osi
- Izbira enotne ploskve – odseki a, b, in c
- Položaj ploskve v prostoru – a/b, b/c in c/a
- Katera koli druga ploskev kristala – pa, qb in rc
↓
položaj ploskve v prostoru – pa/qb, qb/rc in rc/pa
Števila p, q in r, ki določajo položaj kristalne ploskve so cela števila in racionalna števila ali ničla |
| Haüyeva formulacija zakona: | Če izberemo 3 kristalne ploskve za koordinatne ravnine in četrto za enotno ploskev,
so indeksi vseh ostalih kristalnih ploskev in robov cela števila. Če indeksi niso podani
kot cela števila, so vedno racionalna števila.
- Druga formulacija: Vse možne ploskve in robove kristala dobimo na geometričen
način.
Posledica zakona:
Kristal je sestavljen iz pravilnega 3D zaporedja identičnih paralelepipedov. Osnovni
paralelepiped je skonstruiran vzdolž vektorjev a, b in c.
paralelepipedi → mreža (angl. Lattice)
mikroskala → večina ploskev ima stopničast videz
makroskala → ploskve izgledajo gladke |
| POSTULATI KRISTALOGRAFIJE | Bravaisov postulat: Za vsako točko P v kristalu obstaja neskončen niz točk v
tridimenzionalnem prostoru, okoli katerih je razporeditev snovi enaka kot za točko P.
Schönflies-Fedorov postulat: Za vsako točko P v kristalu obstaja neskončen niz točk v
tridimenzionalnem prostoru, okoli katerih je razporeditev snovi enaka kot za točko P ali
predstavlja podobo te razporeditve.
↓↓↓
uvedeta pojem podobe = simetrija glede na točko (prej: identična
orientacija)
Prostorska mreža – ang. space lattice/group |
| SIMETRIJA | - Zunanja simetrija (morfologija)
- makroskopska opazovanja, merjenje kristalnih ploskev/kotov
- 32 simetrijskih razredov = 32 točkovnih grup; 32 kombinacij simetrijskih elementov
- Notranja simetrija
- RTG difrakcija za določanje
- upošteva še 3D translacijo
- 14 Bravaisov mrež
- 230 prostorskih grup – simetrija v neskončnost ponavljajočih se struktur
Idealen kristal – popolnoma urejen na daljšo razdaljo (red dolgega dosega)
Realni kristali niso nikoli popolnoma urejeni, njihove strukture so bolj ali manj neurejene; toda
določen tip nereda omogoča, da kljub temu določimo povprečno strukturo. |
| Kristalografske projekcije | 3D kristal → 2D slika
Projekcije:
- direktna projekcija: rišemo kristalno ploskev (kristalna ploskev → premica ali krožnica)
- indirektna projekcija: rišemo projekcijo normale na našo kristalno ploskev (normala →
točka): oblika ploskev ni pomembna, pomembni so koti med ploskvami. |
| Osnovni principi projekcij: | - v razdalji R od središča kristala postavimo vodoravno ravnino, ki je naša projekcijska ravnina:
- linearna p. (direktna) – projekcija ploskve je premica, ki predstavlja
presečišče kristalne ploskve s projekcijsko ravnino
- gnomonska p. (indirektna) – projekcija ploskve je točka, ki predstavlja
presečišče presečišče pravokotnice na kristalno ploskev s projekcijsko ravnino
- okoli kristala postavimo kroglo z radijem R. Projekcijska ravnina je presečišče te krogle s
horizontalno ravnino, ki gre skozi središče kristala:
- ciklografska p. (direktna) – projekcija kristalne ploskve je krožnica (lok)
- stereografska p. (indirektna) – projekcija kristalne ploskve je točka, ki
predstavlja prebodišče normale na kristalno ploskev s kroglo kroglo okoli
kristala
- stereografska p. (indirektna) – projekcija kristalne ploskve je točka, ki predstavlja
prebodišče normale na kristalno ploskev s kroglo okoli kristala |
| Stereografska projekcija | Okoli kristala postavimo kroglo z radijem R. Normale na kristalne ploskve prebadajo kroglo v
točkah (te nosijo informacijo o legi ploskev v prostoru in kotih med ploskvami). Njihov
položaj določimo s kotnimi koordinatami na krogli (kot točke na Zemljini površini opišemo z
geografsko širino in dolžino).
- "kristalno širino" točk na krogli okoli kristala ne merimo s kotom od ekvatorialne
ravnine proti severu ali jugu, temveč uporabljamo "polarni kot", ki ga merimo v
stopinjah od severnega pola proti ekvatorju od 0° do 90° za ploskve severne
poloble in od 90° do 180° za ploskve južne poloble.
polarni kot = kot med premico, ki gre iz središča kristala skozi severni pol, in
pravokotnico na kristalno ploskev; označujemo ga z rho (ρ).
- "kristalno dolžino" merimo enako kot zemljepisno dolžino v stopinjah do +180° v
smeri urinega kazalca in do -180° v nasprotni smeri od začetnega mediriana
(vertikalna ravnina vzporedna opazovalcu). Kot med začetnim meridianom in
meridianom kristalne ploskve označujemo s fi (φ).
Ploskev je definirana s kotoma φ/ρ. |
| Konstrukcija stereografske projekcije: | Projekcijska ravnina je krog, ki predstavlja presečišče krogle s horizontalno ravnino, ki
gre skozi središče kristala (ekvatorialna ravnina). Stereografska projekcija je projekcija
prebodišč na to projekcijsko ravnino. Projeciramo tako, da prebodišča na severni
polobli povežemo z južnim polom. Kjer zveznica seče našo projekcijsko ravnino, dobimo
stereografsko projekcijo ploskve. Za projekcijo ploskev, ki ležijo pod projekcijsko ravnino
(južna polobla) povežemo prebodišče s severnim polom. |
| Ciklografska projekcija | direktna projekcija: na projekcijsko ravnino projiciramo presečišča kristalne ploskve s
kroglo (vsako točko presečnice povežemo z nasprotnim polom)
→ krožnica
Središče ciklografske projekcije je gnomonska projekcija |
| Wulffova mreža | Gre za stereografsko projekcijo paralel in
meridianov na projekcijsko ravnino, to je
ekvatorialno ravnino.
Mreža predstavlja projekcijo velikih („dolžine“) in
malih („širine“) krogov na sfero. |
| UPORABA WULFF-OVE MREŽE | KOT MED DVEMA POLOMA
(pol – presečišče pravokotnice na kristalno ploskev s kroglo okoli kristala)
- oba pola zarotiramo na skupen veliki krog
- odčitamo kot |
| NOTRANJA UREJENOST | Notranjo urejenost kristala predstavlja motiv ali vzorec, ki se ponavlja v mreži (t.j.
periodična razporeditev točk v prostoru). |
| SIMETRIJSKE OPERACIJE | Osnovni postulat geometrične kristalografije je, da ostane kristalna mreža nespremenjena
pri določenem „premiku“. Takšne operacije premikanja imenujemo simetrijske operacije.
Simetrijska operacija je dejanje, ki ga izvedemo, da dobimo sliko izvornega motiva; BREZ
deformacije kristalne mreže. |
| Simetrijske operacije: | inverzija (skozi center simetrije)
- rotacija (okoli osi simetrije)
- rotacija v kombinaciji z inverzijo
- rotacija v kombinaciji s translacijo
- translacija
*zrcaljenje – kombinacija inverzije in 2-števne osi
Mreža vsebuje translacijsko komponento notranje ureditve.
Notranja urejenost se odraža v ZUNANJI OBLIKI kristala. |
| SIMETRIJSKI ELEMENTI (brez translacije) | Simetrijski element = geometrično mesto (pozicija) ki pripomore k vizualizaciji simetrije
neke urejene strukture. To so geometrijski elementi, ki omogočajo predstavitev simetrije v
kristalih.
Simetrijski elementi: →→ Simetrijske operacije:
- center simetrije →→ - inverzija
- osi simetrije →→ - rotacija
- ravnine simetrije →→ - zrcaljenje |
| ROTACIJA | Rotacija za kot ϕ okoli imaginarne osi tvori lahko še več motivov.
Os simetrije je premica, okoli katere motiv vrtimo (na osi rotacije ostanejo točke na mestu).
Motiv se lahko pri rotaciji za cel krog (360°) ponovi enkrat ali večkrat.
Za neodvisne objekte se lahko motiv pri vrtenju okoli osi simetrije ponovi n-krat (n=1- ∞).
ϕ = 2π/n Cn – os rotacije
Osi simetrije/rotacije, ki jih lahko opazujemo pri kristalih so:
- enoštevna (rotacija 360°) 1
- dvoštevna (rotacija 180°) 2
- trištevna (rotacija 120°) 3
- štirištevna (rotacija 90°) 4
- šestštevna (rotacija 60°) 6
Pet, sedem ali več števne osi simetrije v kristalih niso možne. |
| Omejitve osi simetrije | Pet, sedem ali več števne osi simetrije v kristalih niso možne.
A, B, C - točke mreže, ločene s translacijsko enoto a vzdolž LL'
Vsaka os simetrije (rotacija za kot θ), ki gre skozi eno od točk mreže, mora biti tudi v vseh
ostalih točkah mreže. |
| INVERZIJA | Inverzija (I) ali zrcaljenje skozi točko – center inverzije oz. center (središče) simetrije – i
Samo ta točka ostane na svojem mestu.
Originalnega vzorca in inverzne slike ne moremo prekriti s translacijo.
Slika je zrcalna slika izvornega objekta.
Taka objekta imenujemo ENANTIOMORFA. |
| ZRCALJENJE PREKO RAVNINE | Zrcaljenje preko ravnine simetrije ustreza kombinaciji rotacije za 180° in zrcaljenju skozi
center simetrije.
Ravnina simetrije = zrcalna ravnina m |
| INVERZIJA IN ROTACIJA | Inverzne osi simetrije so osi simetrije kombinirane z inverzijo skozi središče simetrije.
Inverzne osi simetrije so lahko 1, 2, 3, 4 ali 6 števne.
Oznake: 1, 2, 3, 4, 6 ϕ = 2π/n
Enoštevna inverzna os = center simetrije
Dvoštevna inverzna os = ravnina simetrije
Trištevna inverzna os = trištevna os + center simetrije
Štirištevna inverzna os
Šeststevna inverzna os = trištevna os + nanjo
pravokotna ravnina simetrije |
| ZDRUŽLJIVE KOMBINACIJE SIMETRIJSKIH ELEMENTOV | POGOJ: generiramo pravilne 3D vzorce.
KOMBINACIJE VEČ ENAKIH SIMETRIJSKIH OSI (primer 222), VEČ RAVNIN SIMETRIJE (mm)
KOMBINACIJE SIMETRIJSKIH OSI
Pri kombinaciji osi simetrije moramo paziti, da je kombinacija ne generira neskončnega
števila novih setov simetrijskih osi.
Primer: Če se dve 4-števni osi simetrije sekata pod ostrim kotom delujeta druga na drugo in
pri tem ustvarita neskončen set osi. Da se temu izognemo, se osi simetrije lahko sekajo le
pod kotom 90o ali (le v kubičnem sistemu) 54o44".
Vsi simetrijski operatorji se MORAJO SEKATI V ISTI TOČKI!
Kombinacije: 422, 622, 222, 32, 23, 432 |
| KOMBINACIJE SIMETRIJSKIH OSI Z RAVNINAMI SIMETRIJE | V kristalih so ravnine simetrije pravokotne ali vzporedne osem simetrije v kristalu.
Kombinacije: 2/m, 3/m, 4/m, 6/m, 6mm, 4mm, 4/mmm... |
| ZAKONITOSTI PRESEČIŠČ RAVNIN SIMETRIJE | Dve ravnini simetrije se sekata v premici, ki je dvoštevna os simetrije.
Tri ravnine simetrije se sekajo v premici, ki je trištevna os simetrije.
Štiri ravnine simetrije se sekajo v premici, ki je štirištevna os simetrije.
Šest ravnin simetrije se seka v premici, ki je šestštevna os simetrije.
Vse opisane simetrijske operacije so lahko opazovane na površini kristala, vendar so
posledica notranje urejenosti kristala – strukture.
32 možnih kombinacij simetrijskih elementov:
Hermann-Mauguin-ovi = mednarodni simboli
32 TOČKOVNIH GRUP – 32 SIMETRIJSKIH RAZREDOV |
| KRISTALOGRAFSKE OSI | - tri (ali štiri) referenčne osi
Kristalografske osi so namišljene osi, ki potekajo skozi središče kristala. Pri opisovanju zunanje
simetrije jih izberemo vzporedno robovom ali ploskvam kristala. Pri taki izbiri kristalografske osi
sovpadajo tudi s simetrijskimi elementi oz. so nanje pravokotne.
Za nekatere kristale obstaja več možnosti za izbiro kristalografskih osi, če jih izbiramo le na
osnovi zunanje simetrije (npr. triklinski sistem). |
| IDEALNA IZBIRA KRISTALOGRAFSKIH OSI: | Kristalografske osi morajo biti vzporedne robovom, enote na oseh pa proporcionalne dolžinam
robov osnovne celice. |
| OSNOVNA CELICA | – najmanjša ponavljajoča se enota kristalne mreže (strukture) – če
definiramo to enoto (sestavo in kemijske vezi) in vemo, kateri simetrijski elementi so prisotni,
smo s tem določili celoten kristal. |
